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對於正規Laurent數列之Diophantine矩陣近似法
(2005)
符麥克
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FUCHS MICHAEL
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交通大學應用數學系
在近幾年來，對於正規Laurent 級數之Diophantine 近似法於矩陣理論上引起廣泛的興趣。在最近的論文中，Deligero 和Nakada 設計了一個」continued fraction free」的方法使得中央極限定理對於共質解之個數證明變得可行，其中共質解是源於古典Khintchine 理論中的Diophantine 逼近問題。他們的結果對於我近期的研究提供了實質的幫助。在本計劃中，我們對於恆定原則給出更深入的探討。其中我們得到一些結果，特別有，Khintchine 個案中的疊代對數之於 Khintchine 定理的推廣。實數體上的類似結果則尚未被證實。更進一步的，我們亦試著去重新檢視在滿足某些限制條件下的極限定理個數解，如在質數集合中，或是在級數中，等等。
正特徵域上丟番圖逼近的賦距結果
(2009)
符麥克
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FUCHS MICHAEL
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國立交通大學應用數學系(所)
摘要：近來的研究文獻，H. Nakada and R. Natsui 在正規Laurent 級數域上考慮─ 沒有互質條件下的丟番圖逼近(Diophantine approximation)，得到其解的個數滿足強大數法則。利用早先W. M. Schmidt 所提出的方法，他們的結果是非常可能有相當程度地增進。在這個計畫中，我們將在非齊次丟番圖逼近、有限丟番圖逼近及同時丟番圖逼近，研究類似的問題，並發展出較增進的結果。
正規勞倫級數之度量非齊次丟番圖逼近
(2012)
符麥克
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FUCHS MICHAEL
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國立交通大學應用數學系（所）
在近期的一篇論文中，Kim和Nakada證明了一個在有限體之下，正規勞倫級數之非齊次丟番圖逼近的Kurzweil定理。在這個計畫中，我們打算歸納出他們的結論。此外，我們打算證明強大數法則，以及討論一些對於逼近函數的種種限制下類似的結果。
隨機數位樹的機率分析
(2010)
符麥克
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FUCHS MICHAEL
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國立交通大學應用數學系（所）
數位樹是計算機科學裡面一種基本的資料結構，在過去30 年內也已經在很多文章內被討論。本計劃主要討論隨機數位樹的機率分析，主要分成兩個部份。在第一部份，我們將回顧過去的研究成果並提出一個可以簡化變異數分析和更簡單的常數表示式的新方法；在第二個部份，我們將提出一個一般化理論可以得出數位樹的形狀參數的極限法則、收斂率和局部極限定理等。
隨機數位樹的機率分析
(2011)
符麥克
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FUCHS MICHAEL
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國立交通大學應用數學系（所）
數位樹是計算機科學裡面一種基本的資料結構，在過去30 年內也已經在很多文章內被討論。本計劃主要討論隨機數位樹的機率分析，主要分成兩個部份。在第一部份，我們將回顧過去的研究成果並提出一個可以簡化變異數分析和更簡單的常數表示式的新方法；在第二個部份，我們將提出一個一般化理論可以得出數位樹的形狀參數的極限法則、收斂率和局部極限定理等。
隨機樹之構型參數間的關係
(2013)
符麥克
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FUCHS MICHAEL
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國立交通大學應用數學系（所）
隨機樹樣式的相位變化現象
(2006)
符麥克
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FUCHS MICHAEL
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交通大學應用數學系
在這個計畫中，我們對於隨機樹形態的發生數目的相變感到興趣，我們從Feng, Mahmoud, 和Su最近的結果出發，他們證明對於隨機樹的邊緣的固定尺寸為k的子樹，其數目會遵守中央極限定理。對於不同的k，我們期待其極限定理會從正規分佈變成波以松分佈。我們也期待對於m-元搜尋樹和四分樹等等的隨機樹其邊緣的子樹數目的類似相位變化會成立。除了子樹的數目之外，我們計畫研究一些相關於相位變化的數量如：尺寸小於或等於k的子樹的數目，當外出度數為d時的節點的數目，等等。
隨機樹狀之機率性質
(2004)
符麥克
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FUCHS MICHAEL
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交通大學應用數學系
隨機樹狀結構之研究可廣泛應用在計算機科學及生物資訊等領域上面，特別是搜尋、資料庫之應用。經常研究的議題包含某些特徵參數之統計性質，例如隨機樹狀之高度及其選取葉片的深度，這些參數往往決定了隨機樹的形狀。最近幾年，有關隨機遞迴樹狀及二元搜尋樹狀的研究與應用開始熱絡起來，很多新且有趣的現象被發現。此計劃的目的，在於更深入研究隨機樹的形狀與這些特徵參數的關係。
隨機樹的邊界子樹數量
(2007)
符麥克
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FUCHS MICHAEL
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國立交通大學應用數學系(所)
在最近的手稿中，我們證明了：給定一整數k，在隨機遞迴樹(Random Recursive Trees)和隨機二元搜尋樹(Random Binary Search Trees)中大小為k 的邊界子樹數量之極限分佈，隨著k 的改變，產生從常態分佈(Normal Distribution) 到卜松分佈(Poisson)，最後變成退化分佈(Degenerate)的相變。在 Feng, Mahmoud 和 Panholzer 最近的論文中，也藉由完全不同的方法獨立地得到相同的結果。在本計劃中，我們打算比較這兩種方法。特別地，我們將說明我們的方法依舊適用於 Feng 等人的方法難以處理，甚至無法處理的其他種類似的隨機樹相變結果。
隨機樹節點的外出數度
(2008)
符麥克
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FUCHS MICHAEL
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國立交通大學應用數學系(所)
：在這個計畫中，我們想要研究隨機recursive樹裡外出數度為k的節點數目。從一些關於unrooted unlabelled隨機樹及給定大小為k且位於隨機樹邊緣的子樹數的最近研究結果顯示，我們猜測上述數目的期限分佈會隨者k的成長，從常態分佈變換成Poisson分佈。我們提出一個方法，該方法不僅很可能可以證實此猜測，也很可能可以更仔細地解釋此相變現象。除了隨機recursive樹之外，我們也想要研究是否其他的隨機樹產生類似的分佈相變現象。
離散機率，解析組合以及遺傳種系學
(2014)
符麥克
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FUCHS MICHAEL
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國立交通大學應用數學系（所）
離散機率，解析組合以及遺傳種系學
(2015)
符麥克
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FUCHS MICHAEL
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國立交通大學應用數學系（所）
高連通性的隨機遞迴結構
(2016)
符麥克
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FUCHS MICHAEL
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國立交通大學應用數學系（所）
高連通性的隨機遞迴結構
(2015)
符麥克
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FUCHS MICHAEL
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國立交通大學應用數學系（所）