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柴比雪夫－葛勒金與延續法處理非線性薛丁格方程
(2006)
鄭博文
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Jeng Bor-Wen
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國立交通大學應用數學系(所)
近年來，Shen [15–18]研究有效率的波譜–葛勒金法處理二階和四階的橢圓型偏微分方程。這些方法是藉由基底函數的適當選取，使得所產生的離散矩陣是一個具有特殊結構的稀疏矩陣，因此能夠大大地提升計算的效率。在本計畫中，我們將把柴比雪夫–葛勒金法[16]放在延續法的架構下，建立一個有效率的波譜–延續法來處理非線性薛丁格方程。我們所要處理的問題包括單一的非線性薛丁格方程(NLS)、複合的非線性薛丁格方程(TCNLS)、阻尼的非線性薛丁格方程(DNLS)以及具有角動量旋轉項的非線性薛丁格方程…等。而我們所提出的這個方法也可以應用來追蹤其它二階非線性特徵值問題的解曲線。此外，我們也將進一步比較波譜–延續法、有限差分–延續法與有限元素–延續法三者的執行情形，觀察何者的效率較佳。
波譜-延續法處理非線性薛丁格方程的分歧解
(2007)
鄭博文
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Jeng Bor-Wen
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國立交通大學應用數學系(所)
九十年代以來，Shen [15–18]提出了一系列有效率的波譜–葛勒金法來處理二階和四階的橢圓型偏微分方程。這些方法主要是藉由基底函數的重新適當選取，使得所產生的離散矩陣是一個具有特殊結構的稀疏矩陣，因此能夠建構出很有效率的求解法。在本計畫中，我們將延續95年度的研究工作，探討由其它使用不同類型基底函數的波譜–葛勒金法（例如：Legendre-Galerkin method）所建構而成的波譜–延續法，比較它們在處理非線性薛丁格方程分支解上的差異性，並進而觀察何者在計算上有較佳的精確度以及執行效率。我們所要處理的問題包括單一的非線性薛丁格方程(NLS)、複合的非線性薛丁格方程(TCNLS)、具有角動量旋轉項的非線性薛丁格方程…等。而我們所提出的這些波譜–延續法也可以應用來追蹤其它二階非線性橢圓型特徵值問題的解曲線。