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二階動態系統模型化簡的新數值方法
(2011)
李勇達
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LI YUNG-TA
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國立交通大學應用數學系（所）
摘要：本研究計畫將提出一種對二階動態系統模型化簡的新的數值方法。二階動態系統廣泛地出現在許多工程領域的問題中，例如微機電系統利用修正節點分析(Modified Nodal Analysis)技術可以用二階動態系統來描述。而在結構力學模型上經過有限元素法也會導出二階動態系統。對於有極大數量狀態變數的系統，在有限的計算資源限制下，直接去模擬這樣的系統是不可行的。因此我們運用模型化簡的技巧將原始系統的狀態變數降至一合理的數目而得到簡化系統。這樣的簡化系統必須符合下列條件： (1)精準反應原始系統的現象。 (2)保有原始系統的物理性質，如穩定性跟被動性。 (3)保有二階結構。對於線性動態系統的模型化簡在過去二十年來有下列兩種主流的方法 (1) 動差匹配法 (Moment Matching)模型化簡，這個數值方法是保證簡化系統的傳輸函數的泰勒展開式低階系數將與原始系統的傳輸函數之相對應的系數相同。其優點是計算過程僅需要矩陣向量乘法，大幅降低計算所需資源。 (2) 平衡截斷法 (Balanced Truncation)的做法是藉由解Lyapunov 方程找出一個新的座標，在新的座標下所描述的系統其狀態向量是同等可控制跟可觀察，而簡化系統則是揚棄較不容易控制(觀察)的部份。本方法的優點是可以做到全域近似並得到簡化系統跟原始系統差異的上界。將動差匹配法應用到二階動態系統在過去十年間已在許多文獻上提出有效的算法，但是將平衡截斷法應用到二階動態系統上尚有許多值得探討的問題。舉例來說，如何求得一個具有二階結構的簡化模型且計算出全域近似的上界。本計畫主要是發展出兩階段的座標轉換技巧來找出適當的簡化模型來解決這個問題。
二階動態系統模型化簡的新數值方法
(2010)
李勇達
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LI YUNG-TA
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國立交通大學應用數學系（所）
摘要：本研究計畫將提出一種對二階動態系統模型化簡的新的數值方法。二階動態系統廣泛地出現在許多工程領域的問題中，例如微機電系統利用修正節點分析(Modified Nodal Analysis)技術可以用二階動態系統來描述。而在結構力學模型上經過有限元素法也會導出二階動態系統。對於有極大數量狀態變數的系統，在有限的計算資源限制下，直接去模擬這樣的系統是不可行的。因此我們運用模型化簡的技巧將原始系統的狀態變數降至一合理的數目而得到簡化系統。這樣的簡化系統必須符合下列條件： (1)精準反應原始系統的現象。 (2)保有原始系統的物理性質，如穩定性跟被動性。 (3)保有二階結構。對於線性動態系統的模型化簡在過去二十年來有下列兩種主流的方法 (1) 動差匹配法 (Moment Matching)模型化簡，這個數值方法是保證簡化系統的傳輸函數的泰勒展開式低階系數將與原始系統的傳輸函數之相對應的系數相同。其優點是計算過程僅需要矩陣向量乘法，大幅降低計算所需資源。 (2) 平衡截斷法 (Balanced Truncation)的做法是藉由解Lyapunov 方程找出一個新的座標，在新的座標下所描述的系統其狀態向量是同等可控制跟可觀察，而簡化系統則是揚棄較不容易控制(觀察)的部份。本方法的優點是可以做到全域近似並得到簡化系統跟原始系統差異的上界。將動差匹配法應用到二階動態系統在過去十年間已在許多文獻上提出有效的算法，但是將平衡截斷法應用到二階動態系統上尚有許多值得探討的問題。舉例來說，如何求得一個具有二階結構的簡化模型且計算出全域近似的上界。本計畫主要是發展出兩階段的座標轉換技巧來找出適當的簡化模型來解決這個問題。
表面參數化中的大型矩陣計算問題
(2012)
李勇達
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LI YUNG-TA
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國立交通大學應用數學系（所）
這個計畫研究表面參數化中所遇到的一些矩陣計算的問題，主要是大型稀疏的線性系統求解以及用牛頓法求根的問題。我們將表面參數化的問題分為兩大類，第一類是找出適當的映射關係，包含調和映射跟保角映射。第二類是計算調和 1-形式以及全純 1-形式的基底。調和映射將具有單連通以及獨一邊界的三維空間網格對應到平面的單位圓。調和映射經由解一個優化問題得到，而該優化問題又等價於解一個線性系統。在適當的選取權重情況下，線性系統的矩陣可證明為對稱正定甚至是 M 矩陣，我們考慮用預條件共軛梯度法來解這樣的線性系統。我們希望利用模型化簡的手法能夠很快地估算到適當的預條件矩陣。至於保角映射這裡考慮的是將虧格數零的封閉網格保角映射到球面上，這樣的保角映射可透過解非線性熱擴散方程來得到。由於用顯式尤拉法來解這樣的方程常會有不收斂的狀況，我們希望設計出比顯式尤拉法更有效率的數值方法。第二類的演算法首先處理虧格數大於零的封閉網格以得到調和1-形式群的基底。首先需計算上同調群的基底，接著解一個離散帕森方程來得到調和1-形式群的基底。離散帕森方程可表示成一個線性系統，因此我們又遇到跟計算調和映射相類似的計算問題，我們希望在調和映射那邊發展的方法可以應用到找調和1-形式群的基底。至於找全純 1-形式群基底所面臨的挑戰也是在於是否有良好解相關線性系統的方法。