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Schrodinger方程與色散波方程之交互作用的研究
(2006)
林琦焜
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LIN CHI-KUN
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交通大學應用數學系
這計畫主要是針對Schrodinger 方程與其他色散波方程之交互作用的研究，這類的色散波包含有著名的KdV 方程、長波-短波方程還有耦合型的Schrodinger 方程。這些方程在非線性光學、量子力學、電漿物理、水波方程都有重要應用，近年來則以在凝態物理之應用最為出色。在這為期三年之計畫，我們將逐步研究底下之問題： (1)存在性問題：關於這問題我們將利用兩種不同的方法來研究：WKB 分析與調和分析。 WKB 分析始終是研究Schrodinger 這類方程的局部平滑解並瞭解其流體結構的最好方法，這對於研究其半古典極限(Semiclassical limit)或零色散極限(Zero dispersion limit)的最佳方法。其次調合分析的方法，主要是運用Fourier 變換的限制性估計。並引進J. Bourgain, C. Kenig、T. Tao 等人的最近研究方法。 (2)自我相似解與解之漸近行為：研究自我相似最自然、最直觀的方法是量綱分析，我們將由量綱分析(dimensional analysis)的角度去判斷是否有可能存在自我相似解，之後再由典型的方法將之化為常微分方程來證明其存在性，而後再探討其漸近行為。最後，再由量綱分析的手法，來得到衰減估計(decay estimate)。 (3)奇異極限(singular limit) 根據研究Schrodinger 方程之半古典極限之經驗，我們依然可以探討這類方程之零色散極限(Zero dispersion limit)，從中研究其交互作用，亦即耦合型方程之特色，並藉以判別與單純的Schrodinger 方程之差異。
Schrodinger方程與色散波方程之交互作用的研究
(2008)
林琦焜
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LIN CHI-KUN
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國立交通大學應用數學系(所)
這計畫主要是針對Schrodinger 方程與其他色散波方程之交互作用的研究，這類的色散波包含有著名的KdV 方程、長波-短波方程還有耦合型的Schrodinger 方程。這些方程在非線性光學、量子力學、電漿物理、水波方程都有重要應用，近年來則以在凝態物理之應用最為出色。在這為期三年之計畫，我們將逐步研究底下之問題： (1)存在性問題：關於這問題我們將利用兩種不同的方法來研究：WKB 分析與調和分析。 WKB 分析始終是研究Schrodinger 這類方程的局部平滑解並瞭解其流體結構的最好方法，這對於研究其半古典極限(Semiclassical limit)或零色散極限(Zero dispersion limit)的最佳方法。其次調合分析的方法，主要是運用Fourier 變換的限制性估計。並引進J. Bourgain, C. Kenig、T. Tao 等人的最近研究方法。 (2)自我相似解與解之漸近行為：研究自我相似最自然、最直觀的方法是量綱分析，我們將由量綱分析(dimensional analysis)的角度去判斷是否有可能存在自我相似解，之後再由典型的方法將之化為常微分方程來證明其存在性，而後再探討其漸近行為。最後，再由量綱分析的手法，來得到衰減估計(decay estimate)。 (3)奇異極限(singular limit) 根據研究Schrodinger 方程之半古典極限之經驗，我們依然可以探討這類方程之零色散極限(Zero dispersion limit)，從中研究其交互作用，亦即耦合型方程之特色，並藉以判別與單純的Schrodinger 方程之差異。
Schrodinger方程與色散波方程之交互作用的研究
(2007)
林琦焜
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LIN CHI-KUN
;
國立交通大學應用數學系(所)
這計畫主要是針對Schrodinger 方程與其他色散波方程之交互作用的研究，這類的色散波包含有著名的KdV 方程、長波-短波方程還有耦合型的Schrodinger 方程。這些方程在非線性光學、量子力學、電漿物理、水波方程都有重要應用，近年來則以在凝態物理之應用最為出色。在這為期三年之計畫，我們將逐步研究底下之問題： (1)存在性問題：關於這問題我們將利用兩種不同的方法來研究：WKB 分析與調和分析。 WKB 分析始終是研究Schrodinger 這類方程的局部平滑解並瞭解其流體結構的最好方法，這對於研究其半古典極限(Semiclassical limit)或零色散極限(Zero dispersion limit)的最佳方法。其次調合分析的方法，主要是運用Fourier 變換的限制性估計。並引進J. Bourgain, C. Kenig、T. Tao 等人的最近研究方法。 (2)自我相似解與解之漸近行為：研究自我相似最自然、最直觀的方法是量綱分析，我們將由量綱分析(dimensional analysis)的角度去判斷是否有可能存在自我相似解，之後再由典型的方法將之化為常微分方程來證明其存在性，而後再探討其漸近行為。最後，再由量綱分析的手法，來得到衰減估計(decay estimate)。 (3)奇異極限(singular limit) 根據研究Schrodinger 方程之半古典極限之經驗，我們依然可以探討這類方程之零色散極限(Zero dispersion limit)，從中研究其交互作用，亦即耦合型方程之特色，並藉以判別與單純的Schrodinger 方程之差異。
具有電磁場的Klein-Gordon方程
(2012)
林琦焜
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LIN CHI-KUN
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國立交通大學應用數學系（所）
近年來關於一些著名的數學物理方程，例如Schrodinger方程，Ginzburg-Landau 方程的研究，逐漸移向探討具有電磁場的作用下方程式其解的行為。因此這個計畫主要是延續我們之前關於非線性 Klein-Gordon方程之研究。此時我們關心的是具有電磁場的非線性 Klein-Gordon方程。經由典型的Madelung變換或者所謂的WKB 方法，我們可以將之轉換為流體力學的形式。在這個形式底下，如果令光速趨近於無窮大，則極限方程式正是非線性 Schrodinger 方程式的流體形式；換句話說，電磁場在這個奇異極限下並沒有作用。因此想瞭解電磁場運作情形，我們必須對時間作適當的尺度變化(scaling),經由漸近分析我們發現有兩種極限情形，也就是長時間與更長時間；分別可得 anelastic (滯彈性)系統，與不可壓縮Euler方程。另外仿Ginzburg-Landau方程，考慮具有電磁場的 Klein-Gordon方程，此時奇異極限是具有電磁場的波映射方程(wave map equation) 。
具有電磁場的Klein-Gordon方程
(2013)
林琦焜
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LIN CHI-KUN
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國立交通大學應用數學系（所）
近年來關於一些著名的數學物理方程，例如Schrodinger方程，Ginzburg-Landau 方程的研究，逐漸移向探討具有電磁場的作用下方程式其解的行為。因此這個計畫主要是延續我們之前關於非線性 Klein-Gordon方程之研究。此時我們關心的是具有電磁場的非線性 Klein-Gordon方程。經由典型的Madelung變換或者所謂的WKB 方法，我們可以將之轉換為流體力學的形式。在這個形式底下，如果令光速趨近於無窮大，則極限方程式正是非線性 Schrodinger 方程式的流體形式；換句話說，電磁場在這個奇異極限下並沒有作用。因此想瞭解電磁場運作情形，我們必須對時間作適當的尺度變化(scaling),經由漸近分析我們發現有兩種極限情形，也就是長時間與更長時間；分別可得 anelastic (滯彈性)系統，與不可壓縮Euler方程。另外仿Ginzburg-Landau方程，考慮具有電磁場的 Klein-Gordon方程，此時奇異極限是具有電磁場的波映射方程(wave map equation) 。
相對論波動方程式之奇異極限
(2009)
林琦焜
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LIN CHI-KUN
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國立交通大學應用數學系(所)
相對論波動方程式之奇異極限
(2011)
林琦焜
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LIN CHI-KUN
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國立交通大學應用數學系（所）
相對論波動方程式之奇異極限
(2010)
林琦焜
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LIN CHI-KUN
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國立交通大學應用數學系（所）