利用向量空間投影理論設計完全還原濾波器組

Abstract

近年來,濾波器組(Filter Bank)已被廣泛地運用到 各種數位訊號處理.因此,能還原重建(Perfect Reconstruction)的濾波器組的設計受到了很多研究人 員的重視.利用Polyphase Matrix,在完全還原的限制下,FIR濾波器 組的設計方法,已經有一些研究結果.然而,這個設 計方法,只是基於訊號及濾波器組的輸出入關係, 對於濾波器組的運作本質及濾波之後的各個次訊 號之間的關係,仍然沒有明確的定義.在本計畫中,我們將利用向量空間投影(Vector Space Projection)的觀念,對多頻道濾波器組的工作特性, 做更深入的探討,在完全還原的限制下,推導出另 一套比較系統化的濾波器組設計公式.在向量空間投影的模式下,濾波器組的操作被形 容為對訊號的線性轉換.在這個觀點下,每一個通 道的運作,相當於把原來的訊號從其所在的空間 轉換到屬於此空間的一個次空間�(Subspace).因此, 如果是一個M通道的濾波器組,則其所轉換到的次 空間則有M個.所以對一個M通道的系統,存在有M個 線性轉換,相對應於所投射的M個次空間.在這個情形下,完全還原的限制,就是要求所投射 的這M個次空間的集合能夠等於原來的訊號空間. 利用這個特性,本計畫將探討如何設計M組基底函 數,使得M個次空間的集合能等於原來的空間.利用 這M組基底函數,我們再導出所對應的M個線性轉換 ,而這M組基底函數和M個線性轉換就可以導出所需 要的M個分析濾波器及M個組合濾波器來.