三階系統之最短時間路徑

Abstract

通常一個替續器系統可以用一個三階系統來近似的代表。三階系統的空間相（phase space）是一個三度空間。如果用誤差（error）來代表，那就是位置，速度及加速度，或E,E.,E..整個空間相充滿許多路徑（trajectory）。因為有強迫函數（forcing function）+T及-T的緣故，在空間相的每一點都有兩個路徑通過，但不會多於兩個路徑。 三度空間相座標的原點代表零位置（E=0）零速度（E.=0）及零加速度（E..=0）。替續器伺服系統運轉時，此原點必為其穩定狀況。對於最短時間反應（Optimum response）來講，系統在運轉時，必需以最短時間到達此原點。但通過原點的路徑只有兩條，當系統受到擾動時，原始條件（Initial Condition）並不一定就在通過原點的路徑上，所以必需經過幾次開關手續才能使它到達原點。 為了到達原點，在空間相中的狀態點（state point）必需在通過原點的路徑上，這需要很多次的開關手續才能完成。對於理想狀況來講，三階系統所需最少的開關次數是二次，對於N階系統，所需最少的開關次數則是N-1次。在三階系統中，起初是加速時間，接著是減速時間，最後是加速時間。對於梯階輸入來講，當力矩（Toraue）加入時，使系統加速，在適當方向產生一速度來減少誤差，這在空間相中所表現出來的則是自狀態點發出的一條特殊路徑。這條路徑通當並不經過原點，因此必需用開關的方法，使它經過別的路徑通過原點。當加入一反向力矩時，系統就會選擇另一路徑，如果為了達到最短時間的要求，則新路徑不能任意地選擇。最原始的路徑在空間相中是一空間曲線，且相當於加速力矩所產生者。在此空間曲線上任一點皆有一減速路徑通過，這許多減速路徑形成一空間曲面。最後有一加速路徑通過原點，此加速路徑只通過由減速路徑所成曲面上之一點，因此只有一條減速路徑與加速路徑相交。開關作用就是要使自原始狀態發出的加速路徑在適當時間加入反向力矩，使其轉入另一減速路徑，最後當其到達與通過原點的加速路徑相交之點時，加入正向力矩，使系統沿此加速路徑到達原點，最後系統就歸於安靜。