橢圓方程式△ｕ＝Ｋ(ｘ)ｕ^□與△ｕ＝Ｋ(ｘ)ｅ^2u

Abstract

對於方程式（ｉ）△ｕ＝Ｋ（ｘ）ｕ^2u in Ｒ^n 及（ii）△ｕ＝Ｋ（ｘ）ｅ^2u in Ｒ^n ，此處σ＞１為一常數，n 是任一正整數且Ｋ（ｘ）為非負Holder連續函數。 在本論文 中我們獲得一些不存在的結果，並且造出一些特殊非負函數Ｋ（•）使得（ｉ）式有 正解或是（ii）式有解。由這些結果，使得我們幾乎完全瞭解Ｋ（ｘ）≧０之情況。 我們所得到的結果及已知的結果概略敘述如下： 假設 ０≦ （｜ｘ｜）≦K （ｘ）≦ （｜ｘ｜） Ⅰ．對於（i ） △ｕ＝Ｋ（ｘ）ｕ^σ in Ｒ^n ，σ＞１ （Ａ）n ≧３時 （ａ）若∫□∞ｓφ（ｓ）ｄｓ＜∞則（ｉ）式有無限多正解。 （ｂ）若∫□∞ｓφ（ｓ）ｄｓ＝∞且對φ加上適當條件則（ｉ）式沒有正解。 （ｃ）若只知∫□∞ｓφ（ｓ）ｄｓ＝∞則（ｉ）式可能有正解 （Ｂ）n ＝２時 （ａ）若∫□∞ｓ（㏒ ｓ）^σ φ（ｓ）ｄｓ＜∞則（ｉ）式有無限多正解。 （ｂ）若 ∫□∞ｓ（㏒ ｓ）^σ φ（ｓ）ｄｓ＝∞且對φ加上適當條件則（ｉ）式 沒有正解。 （ｃ）若只知∫□∞ｓ（㏒ ｓ）^σ φ（ｓ）ｄｓ＝∞則（ｉ）式可能有正解。 （Ｃ）n ＝１時 （ａ）若∫□∞ｓ^σ φ（ｓ）ｄｓ＜∞則（ｉ）式有無限多正解。 （ｂ）若∫□∞ｓ^σ φ（ｓ）ｄｓ＝∞且對φ加上適當條件則（ｉ）式沒有正解。 （ｃ）若只知∫□∞ｓ^σ φ（ｓ）ｄｓ＝∞且對φ加上適當條件則（ｉ）式可能有 正解。 Ⅱ．對於（ii）△ｕ＝Ｋ（ｘ）ｅ^2u in Ｒ^n （Ａ）n ≧３時 （ａ）若∫□∞ｓφ（ｓ）ｄｓ＜０則（ii）式有無限多解。 （ｂ）若∫□∞ｓφ（ｓ）ｄｓ＝∞且對φ加上適當條件則（ii）式沒有解。 （ｃ）若只知∫□∞ｓφ（ｓ）ｄｓ＝∞則（ii）式可能有解。 （Ｂ）n ＝２時 （ａ）若□α＞０使得∫□∞ｓ^(1+α) φ（ｓ）ｄｓ＜∞則（ii）有無限多解。 （ｂ）若□α＞０使得∫□∞ｓ^(1+α) φ（ｓ）ｄｓ＝∞且對φ加上適當條件則（ ii）式沒有解。 （ｃ）若只知□α＞０使得∫□∞ｓ^(1+α) φ（ｓ）ｄｓ＝∞則（ii）式可能有解 。 （Ｃ）n ＝１時 （ａ）若□α＞０使得∫□∞〔ｅ^(αｓ)〕 φ（ｓ）ｄｓ＜∞則（ii）式有無限多 解。 （ｂ）若□α＞０使得∫□∞〔ｅ^(αｓ)〕 φ（ｓ）ｄｓ＝∞則對φ加上適當條件 則（ii）式沒有解 。 （ｃ）若只知□α＞０使得∫□∞〔ｅ^(αｓ)〕 φ（ｓ）ｄｓ＝∞則（ii）式可能 有解。