分段式有理函數的最小平方距離趨近

Abstract

在本論文裡，我們使用最小平方距離來趨近一個給定的函數。所使用的基底則選自分 段的有理函數。要得到此類趨近所需的數學公式推導及數值方法已列於論文內。其中 使用了一些較穩定的數值演算法使得到的正交多項式能夠儘量減少數值計算上的誤差 。因為這些正交多項式的精準與否對於以後運算有著關鍵的影響，所以對於不同的情 況有不一樣的演算法使求得的正交多項式能有最小的計算誤差。 透過計算機執行的結果也被附於各例子中，從這些例子中可以看出對於某些函數在最 小平方距離趨近時，使用分段式有理函數會有明顯的益處。而且它所達到的效果往往 是多項式函趨近難以達成的。對於這些函數在適當的區段里使用有理函數趨近是有其 必要的。此外為了使誤差能更小，程式允許分割點的最佳化。通常為了使各段之間能 夠連續，每小段在兩邊分割點的值與鄰近小段的值是一致的。我們也推導了一些公式 來估計分段式有理函數趨近法的誤差。這些公式可被用來決定什么時候應該使用傳統 的分段式多項式，而什么時候又該使用我們推薦的分段式有理函數。在一些條件成立 時，這些誤差公式可以進一步簡化，得到更精簡的誤差估算公式。 於論文的最後，討論了如何使各小段在分段點能夠接得十分平滑而使其看起來更自然 。為了了解不同的分段點連接方式在分段點附近誤差大小的分布情形，比較了兩種不 同的分段點連接方式并制成圖表提供參考。