分解算子為二次型之算子

Abstract

本論文的目的是在探討將複可列分希伯特空間上有界線性算子分解為種種不同的二次 型算子，像冪等，平方零，指數2 冪單和乘方等。 我們先從算子表為兩個冪等算子差的必要和充分條件討論起，然后完全決定可以如此 表示的正規算子，進而證明 Pearcy 和 Topping兩位教授所得的結果「每個算子是五 個冪等算子和」中，「五」已是最小的個數。 接續 Hartwig和 Putcha 兩位教授以及吳培元教授同時獨立研究出的結果「方陣Τ是 有限個冪等方陣和若且唯若 trΤ是整數且 trΤ≧rankΤ」，我們利用此類方陣的跡 數和尺寸完全決定所需冪等算子之最小個數是多少。之後，我們又完全決定那些方陣 Τ是由兩個冪等方陣以系數 a和b 作線性組合而得，并且證明了n 階方陣Τ是冪等方 陣凸組合的充要條件是 Τ=0，Ι 或 0＜trΤ＜n 和n 階方陣Τ是冪等方陣平均的充 要條件是 Τ=0，Ι 或 0＜trΤ＜n 且 trΤ 是有理數。 接著，我們完全決定可表為兩個平方零算子和的可逆算子，正規算子和複方陣。之後 ，加入 Pearcy 和 Topping兩位教授的研究結果，我們得到四個平方零算子和的一種 充要條件：「算子是此種和若且唯若它是交換子」。我們也得到多種關於三個平方零 複方陣和的必要或充分條件。 在此論文後段，我們完全解決那些複方陣是兩個指數2 冪單方陣乘積的問題。并且， 我們證明了n 階方陣Τ是有限個指數2 冪單方陣乘積的充要條件是 detΤ=1。在此情 形下，所需冪單方陣最少數分別是 n=1時一個，n=2 時三個而 n≧3 時四個。對於兩 個或四個無限維空間上指數2 冪單算子乘積，我們也獲得部分結果。 論文末尾，我們加入已有很長歷史的乘方積研究行列，并得到在有限維空間上兩個乘 方乘積的充要條件的一個新證明。我們也得到無限維情況下的一些部份結果。隨後， 我們完全決定可表為四個乘方乘積的正規算子，并且證明了每一可逆算子均可寫成六 個乘方的乘積。這個結果改進了 Radjavi教授關於每一可逆算子均可寫成七個乘方乘 積的研究成果。