李阿普諾夫矩陣方程式與代數矩陣李階梯方程式之疊代法數值解

Abstract

我們考慮以數值方法計算在物理及工程上常應用到的代數矩陣李階梯（Riccati ）方 程式--B-AR-RD＋RCR=O, 以及李阿普諾夫（Lyapunov）矩陣方程式--AR＋RD＝B 的解 。 首先, 我們利用Kronecker Product 的觀念, 將李阿普諾夫矩陣方程式轉變成Au＝b 的形式, 然後我們便可以導出一個有關此方程式解是否存在的充分必要條件的定理。 另外, 我們發展出數個類似Gauss-Jacobi、Gauss-Seidel、SOR 等常見疊代方法來求 其解。同時, 我們也提出這些疊代方法收斂的充分條件。 針對代數矩陣李階梯方程式, 我們繼續Nelson、Shimizu、Aoki 等人的研究, 特別對 於方程式中非線性的部份著手提出一個收斂較快的改進方法。同時, 我們也提出一個 收斂的充分條件。最後, 我們導出一個能涵蓋Nelson等人結果的統合定理。