準正規算子: 相似, 準相似和緊緻微擾

Abstract

我們考慮在複可分希氏空間上的有界線性算子 T。若T 和T*T 是可交換的，則稱 T為 準正規算子。算子T 為準正規的充分必要條件為T 是么正等價於形如 N♁(S A)的算 子，此處N 為正規算子，A 為正定的且S 為單向推移。 在本篇論文中，我們利用上述準正規算子的結構，研究兩個準正規算子何時相似，何 時準相似，何時互為緊致微擾，以及何時為代數等價。 兩相似的準正規算子是否必為么正等價？此問題已懸宕多年。很容易看出，兩個準正 規算子相似的充要條件為它們的正規部份是么正等價并且純部份是相似。決定兩個純 準正規算子何時相似似乎是無可捉摸的。在本篇論文第二章，我們將此問題化為套連 代數上的問題，并且利用套連代數上的一些結果完全解決此問題。 準相似的情形較相似更為複雜。雖然對準相似的準正規算子而言，它們的正規部份仍 為么正等價，但 L.R.Williams 曾舉例說明它們的純部份卻不一定為準想似。在本篇 論文第三、四章，我們完全解決兩準正規算子何時為準相似的問題。 R.Gellar和L.Page證明兩準正規算子為近似么正等價的充要條件為它們有相同的質譜 并且對應的孤立固有值有相同的重度。對等距算子也有類似的結果。我們將它們推廣 到準正規算子。另一方面，由 I.D.Berg 的結果，可得出兩準正規算子為緊致么正等 價的充要條件為它們有相同的本質質譜。同樣的，對等距算子也有類似的結果。要將 它們推廣到準正規算子相當困難。我們只得到兩個部份結果。 最後，我們討論代數等價。利用 C*-代數理論，很容易看出兩正規算子為代數等價的 充要條件為它們有相同的質譜。我們將此結果推廣到準正規算子。