柴比雪夫－葛勒金與延續法處理非線性薛丁格方程

Abstract

近年來，Shen [15–18]研究有效率的波譜–葛勒金法處理二階和四階的橢圓型偏微分方程。這些方法是藉由基底函數的適當選取，使得所產生的離散矩陣是一個具有特殊結構的稀疏矩陣，因此能夠大大地提升計算的效率。在本計畫中，我們將把柴比雪夫–葛勒金法[16]放在延續法的架構下，建立一個有效率的波譜–延續法來處理非線性薛丁格方程。我們所要處理的問題包括單一的非線性薛丁格方程(NLS)、複合的非線性薛丁格方程(TCNLS)、阻尼的非線性薛丁格方程(DNLS)以及具有角動量旋轉項的非線性薛丁格方程…等。而我們所提出的這個方法也可以應用來追蹤其它二階非線性特徵值問題的解曲線。此外，我們也將進一步比較波譜–延續法、有限差分–延續法與有限元素–延續法三者的執行情形，觀察何者的效率較佳。