傅立葉係數、李阿波諾夫指數和不變測度三者之間的關係

Abstract

一個複雜和不可預測的頻率譜長久以來在物理和工程上都用了作為一個訊號是否是混沌的一個重要指標。仍而都沒有嚴格的數學證明，一直到最近，在陳、許、黃和Roque-Sol的工作[1]，他們證明了nf(合成n次)的Fourier係數若滿足某些充分條件，可得到f的拓樸熵(topological entropy)是正的。這是一篇非常好的理論論文，然而實際卻不容易用，因為要計算nf的Fourier係數在絕大多數的情況下幾乎是不可能的。同時，f的拓樸熵是正的也無法得證f在一個測度為正的不變集上的動態形為是混沌的。例如()(1)fxx x μ=.，在μ是3.839的附近f有「window」的現象出現，[0,1]區間中有measure是1的點集皆為一period three的軌道吸入，此f在一Cantor set上(measure為0)的形為是混沌的。 此三年的計畫，第一年希望進一步探討Fourier coefficients of f (而不是nf)和混沌其他特徵量，例如：Lyapunove exponent, Invariant measure and Rotation number。第二年我們希望探討這些基本量和另一些well-known的orthornormal expansions如Harr basis and wavelets的關係。此部分的動機是因為Fourier coefficients of f是不穩定當f在局部作改變。前二年的計畫侷限於一堆的實函數。第三年我們將討論高維度函數的Fourier係數和Wavelets係數和這些混沌特徵量的關係。 這個計畫需要用的數學含Ergodic Theory, Invariant Measures, 和 Wavelets。