用區域多項式迴歸作改變點問題之單一化研究

Abstract

考慮如何由含有雜訊的資料來估計除了在某些改變點上不連續或微分不連續外，而在其它點上都為平滑的函數之迴歸問題。由於一般的有母數迴歸方法受模型限制很大，我們將採用無母數﹧半母數迴歸方法來作估計以保留模型彈性。對平滑函數之估計，大多數的平滑方法，如核估計及平滑樣條，均有所謂的邊界效應問題，亦即在邊界點上的估計偏差量比內部點大，而必須另作修正。相對的，近年來頗受重視的區域多項式迴歸方法則無此問題。因為改變點和邊界點的角色有其類似性，因此有了用區域多項式迴歸來作改變點問題的構想。我們結合了區域線性迴歸與 Muller(1992) 估計斷點位置的方法，而得到了一組新的改變點位置及改變量大小的估計量。目前已推導出，在函數本身於改變點上為不連續的情形下，新方法所產生的改變點位置估計量和改變量大小估計量之大樣本漸近常態性，我們亦証明了由此所導出的函數估計量確實無邊界效應，詳見 Shiau, Yeh,and Lin（1996）。對於折點的問題，我們利用區域二次式迴歸的方法來作，亦証明了折點位置和改變量大小估計量之大樣本漸近常態性，見 Shiau and Lin (1996)。本計畫中，我們擬將上述結果推廣至更一般的情形，即不連續性可以是在任意階微分上，而區域多項式迴歸上的多項式亦可以是任意次。我們將導出此一般情形之改變點估計量的偏差量(bias)和變異數之一般式，並研究何種情形下可有漸近常態性。另外亦將研究函數估計量之邊界效應問題。目前已知，區域線性迴歸理論上並不適用於折點問題，我們將研究階微分應用幾次多項式來作才適當。這個一般化的問題顯然比原來只討論斷點、折點的問題更複雜、更難推導。目前我們已看出斷點、折點估計量的某些共同性，故相信此計畫是可行的。