預條件Krylov子空間法及平行計算(I)

Abstract

求解線性系統Ax=b是科學計算中一項重要的 基礎,因為在許多應用領域裡都會產生這類型 的問題,而且在許多時候矩陣A是大型且稀疏的 矩陣,由於直接法在解決這類型的問題時,需要 較多的記憶體空間做為填入(Fill-in)之用,並且 需要較長的時間做排序(Reordering & permutation),並 不是很經濟的方法,因此用預條件Krylov子空間 法來解大型稀疏線性系統逐漸受到重視.雖然 某幾類迭代法對某些特定問題有很好的收歛速度,其性質也被充份了解,但是仍然有許多方法 的收歛性質尚未被充份分析了解,收歛行為仍 然難以預測;整體說來,許多問題仍有待解決.因 此我們提出一個三年性的研究計畫針對一般性 的Krylov子空間法及預條件技術做長期且深入的 研究.我們的研究方向可分為幾個部份:(1)對矩 陣之類型及Krylov子空間法和預條件技術做分類 ,找出哪一類型的方法,最適合解哪一類型的問 題;(2)對現有的方法提出修正,使其數值穩定性更高,收歛數度更快;(3)分析不同方法的優缺點, 從而提出混合式的方法,或者,全新方法;(4)在國 家高速電腦中心的各類大型超級電腦上執行這 些運算,分析其計算效率,並且評估超級電腦結 構設計對迭代法的影響.