圖的虧格與最大虧格(I)

Abstract

研究圖的虧格與最大虧格(Genus)一直都是拓 樸圖論上的最重要課題.如何求出任意圖的虧 格及最大虧格,到目前為止並沒有比較理想的 方法;雖然旋轉法則(Rotational scheme)提供了一個 計算的方式,然而這只能對比較特殊的圖來使 用.如何找到一個更好的工具,是我們一直在努 力的方向.到目前為止,我們已經在最大虧格方 面有了相當好的成果,尤其以圖的直徑為參數, 任意直徑比4小的一般圖(Simple graph),我們都可 求出它的最大虧格.而直徑不小於4的圖,則它的 最大虧格將可能是任意大(可以建構這樣的圖). 在另一方面,我們也成功地刻劃出最大虧格為0 或1的圖,(前者為已知,後者則雖有人表示已證 出,到目前為止仍未證實.無論如何,在最大虧格 上的進度似乎比虧格多些).在本計畫中,我們除 了延續三年來的研究之外,我們準備在幾個方 向做些努力.(1)虧格方面,除了一般圖之外,我們 想看看由設計而導出的圖(以集區為點),是否能 求出它的虧格;(2)虧格與最大虧格之關係,在這 方面已經有的研究是指定兩者之差值,再去刻 劃這種圖的特性;由於指定的差值是0或一大數, 因此圖也比較特別;而我們希望看看這個差值 為1或一個小的正整數,問題可能比較困難,然而 得到結果必定會比較一般化.