不可壓縮流的有限元後驗估計與多重網格計算

Abstract

基於我的二維不可壓縮流電腦模擬的經驗， 在本計劃內，我們將發展一個解三維 Navier-Stokes方程有效能和準確的數值方法來模擬複雜區域內不可壓縮流的行為。 為了 解Navier-Stokes 方程, 首先，我?用隱式的 Euler 方法與 Crank-Nicolson 方法來對時間 做離散. 因此而產生的非線性對流項則以 Picard 迭代法或者 Simo-Amero 方法將其線 性化. 下一步, 再以 Streamline-Diffusion 的有限元素法 (SDFEM) 離散空間區域. 其中 簡單的 P1/P 1元素分別被用來離散速度和壓力兩個變量. 此離散法由於流線方向有額外 的穩定度，使得離散所得的線性系統也因此比一般由 Galerkin 有限元方法離散所得的線 性系統更加的穩定. 再來，我們將集中精力探討怎樣有效地求得這個線性系統的解. 在本計劃中, 兩種方法 將被考慮. 首先,我們考慮一個常用的方法, 在那裡, 一步的 block Gauss-Seidel 迭代被用 來作為線性系統的preconditioner. 在每一個 block 中則以 GMRES 或 MINRES 來求解 並以多重網格法來改善系統的條件數以增加 GMRES 和 MINRES的收斂速度. 進而縮 短數值計算所需的時間. 另一個方法, 我們分別於線性系統的左右兩邊乘上特殊的矩陣 來改善系統的條件數. 對所得的新系統再以 GMRES 迭代法求解. 我們發現第 2 種方 法的優勢在於: (i) 每個 block 中我們只需要一個類似 Poisson 的 solver, (ii) 計算過程 中只要時間的離散尺度和網格的大小固定, 在 (i) 中類似 Poisson 的矩陣並不需隨時間 改變而重新計算, (iii) 代數性的多重網格解是可以使用的, 也就是說我們不需產生粗網 格. 因此程式的複雜度也大大的簡化了. 最後， 為了增加數值解的準確度，自適應網格和隨網格大小自動調整的時間尺度也將 一併被考慮. 我們也將用許多標準的流體測試問題 (包括 driven cavity flow, flow in a backward-facing step 和 flow around a cylinder 等), 來檢測我們的不可壓縮流數值模擬 器的準確性及穩定性.