以有限元素法分析旋轉傾斜尤拉梁的穩態變形與自由振動

Abstract

本研究主要利用共旋轉有限元素法推導旋轉傾斜尤拉梁的運動方程式，探討設定角為 具不同傾斜角之等速旋轉傾斜尤拉梁的穩態變形及以穩態變形為平衡點的自然振動頻率。 本文利用非線性梁理論的一致線性化、d’Alembert原理和虛功原理在當前的旋轉元素座標上推導梁元素的節點變形力、節點慣性力、元素剛度矩陣、元素向心力剛度矩陣(centripetal stiffness matrix)，元素質量矩陣(mass matrix)，元素陀螺矩陣(gyroscopic matrix)。本研究中將變形參數對時間的微分視為擾動量，故僅取到一次項，元素節點變形內力取到變形參數的二次項，元素節點慣性內力僅取到變形參數的一次項且忽略變形參數與變形參數對時間的微分的耦合項。將系統的非線性運動方程式中對時間的微分的項去掉即為系統的穩態平衡方程式，將系統運動方程式用泰勒級數在穩態變形的位置展開，取到一次項，即為旋轉梁微小振動的運動方程式。 本文利用基於牛頓法的增量迭代法求出軸向位移及側向位移的穩態解。旋轉傾斜梁的振動方程式中存在陀螺矩陣，所以其自然振動頻率對應的振動模態為複變數，其頻率方程式(frequency equations)為一組代數齊次方程式，該組齊次方程式為一個二次特徵值問題，其係數形成之矩陣的行列式值為零時的根，即為自然振動頻率。本文以二分法來求行列式值為零時的根。 本研究以無因次化的數值例題探討傾斜角、無因次轉速、無因次轉軸半徑及細長比對旋轉傾斜梁無因次側向穩態變形和無因次自然頻率的影響，本研究還探討旋轉傾斜梁的兩個振動頻率接近時，對應之振動模態的耦合現象、特徵值曲線轉向(eigenvalue curve veering)及振態交換的現象。