REDHEFFER 法在完備黎曼曲面之微分不等式上之應用

Abstract

R. REDHEFFER於１９６０年在解微分不等式△ｕ≧ｆ（ｕ，｜▽ｕ｜）之有上界解於 歐氏空間中給了一個有系統的方法。此方法主要的想法是利用一漸增函數的成長率來 控制微分不等式解的行為。美邰遠及邱成峒先生於１９７５年在針對微分不等式△ｕ ≧ｆ（ｕ）於完備黎曼流形上有上界解給了一個完全不同的方法，其主要想為找一正 的連續函數定義於某不定區間之中，利用此函數來控制函數ｆ，使其在某些情況下， 上述之微分下不等式會有上界解。因此，我們考慮一極有趣的問題為是否可利用REDH EFFER 之方法於於完備黎曼流形之中呢？所以，本論文的主要工作為REDHEFFER 法在 完黎曼曲面上之微分不等式的應用。 本論文在考慮REDHEFFER 法推廣至完備黎曼曲面的過程中發生了二個重要的難題，首 先我們利用了拉普拉斯比較定理克服了微分不等式的一些估計，其次是利用鄭邰遠先 生之方法解決了距離函數在完備黎曼空間不可微分的問題。利用上述所得之結果於微 分不等式△ｕ≧ｆ（ｕ）有上界解的問題，結果發現得到一此鄭邰遠及邱成峒先生更 好的結果，且利用相同的方法，我們亦能處理△ｕ≧ｆ（ｕ，｜▽ｕ｜）的問題，此 種問題為上二者之方法所不能解決的形式。 由上述的討論我們得知REDHEFFER 的方法不但成立於歐幾里德空間之中，且在黎曼流 形上此種方法仍然可行。另行，REDHEFFER分利用此方法在歐幾里德空間中解決一些 微分不等式有上界解的想法，亦被成功的推廣，且得到二個條件極佳的定理；此即為 本論文的主要結果。