有交換性拉丁方陣的交集問題

Abstract

一個ｎ階拉丁方陣（LATIN SQUARE）是由１到ｎ的正整數所構成的ｎ×ｎ陣列（ARRA Y ），在每一行每一列上，每一個正整數恰好都出現一次，如果這個陣列具有對稱性 ，則此陣列為有交換性的拉丁方陣（COMMUTATIVE LATIN SQUARE），我們說兩個同階 的拉丁方陣具有ｋ個共同元素（ELEMENTS IN COMMON）（或此二拉丁方陣的交集（IN TERSECTION）為ｋ），如果恰好在ｋ個單元（cell）上此二拉丁方陣所置放的正整數 是一樣的。 在這論文中，我們主要是研究兩個有交換性拉丁方陣的所有可能交集，利用電腦的幫 忙及兩個遞迴的定理，我們得到了下列結果：當ｎ為大於或等於７的，奇數時，Ｊ〔 ｎ〕＝Ｉ〔ｎ〕；而當ｎ為大於或等於６的偶數時，Ｊ〔ｎ〕＝Ｈ〔ｎ〕，上面的Ｊ 〔ｎ〕代表所有可能交集所成的集合，Ｉ〔ｎ〕是代表集合｛０，１，２…… ｎ2－９，ｎ2－８，ｎ2－６，ｎ2｝Ｈ〔ｎ〕是代表集合〔０，１，２，…… ｎ2－７，ｎ2－６，ｎ2－４，ｎ2｝，這完全解決了有交換性拉丁方陣的交集問題．