散射理論中的不反射位能

Abstract

本文內容在於探討局部化能（LOCALIZED POTENTIAL ）下的散射理論（SCATTERING T HEORY ），嚴格地說，是在研究史東魯威爾（STURM-LIOU-VILLE）特徵值問題。 Φｘｘ（Ｘ）＋〔ｋ2 －ｑ（ｘ）〕Φ（ｘ）＝０ （１） q(X)即方程式（１）中所謂的位能（POTENTIAL ），特別，吾人更有興趣於局部化位 能的研究， ｑ（Ｘ）→０，當｜Ｘ｜→∞。 散射理論系由兩部份所組作，一部份是直接散射變換，另一部份是反散射變換。直接 散射變換與下列問題相關：已知位能ｑ（ｘ）是否可找出方程式（１）的特徵值和特 徵函數？相反地，反散射理論試圖解決：如方和式（１）中的特徵值和特徵函數能夠 “觀察”到，則位能ｑ（ｘ）是否能夠找出？一般而言，此兩個問題題不一定是有解 的；當然，吾人可從已知數據上數集到資訊，然大部份，所欲尋的答案是不甚明顯。 本文內容的第一部份，極為詳細地研究直接散射變換和反散射變換。在第二部份裡， 著重在如上所提兩個問題，可很清礎地解出位能ｑ（ｘ），而此位能ｑ（ｘ）稱作不 反射位能（REFLECTIONLESS POTENTIAL）。在物理學上，可視方程式（１）之Φ（ｘ ）如一水波，此水波帶有ｋ2 （ｔ）之能量，在一實線上自遙遠一邊移動到遙遠的另 一邊，而ｑ（ｘ）是介於兩者的位能牆（POTENTIAL WALL）。假定ｑ（ｘ）是不反射 位能，則Φ（ｘ）就能不受干擾的穿越位能牆ｑ（ｘ）。我們用三個具體的例子說明 ：如果ｋ是已知且Φ（ｘ）是可“觀察”的（不需要知道Φ（ｘ）的通解），則不反 射位能ｑ（ｘ）是可解出來的。不反射位能能夠清礎地找出之主要理由，是在散射理 論中的馬千可方程式（MARCHENKO EQUATION）是可以被解出來的，馬千可方程式係一 積分方程式，它是描述與散射數據Ｓ（ｑ）之間的關係。這裡，散射數據Ｓ（ｑ）是 觀察自方程式（１）之Φ（Ｘ；Ｑ）和（ｋ（ｑ）中的資訊。