散射理論及其對KDV 非線性偏微的應用

Abstract

本文內容在於探討孤立子方程式其中一種，稱為KDV 方程式， ｑt －６ｑｑx ＋ｑxxx ＝０ 這個方程式是個非線性弱的，分散的進化方程式，也是個具通用性的方程式，而且， 它是完全可積的，有各種類的解，例如：局部解（尤其是KDV.質點似的孤立子解）， 類似解，有理解，週期解，類似週期解。 在所有KDV 解中，僅有一些種類的解能清楚的寫出來，而KDV 孤立子解就是這其中一 種，對於研讀孤立子方程式（尤其是KDV 方程式）的局部解，散射理論是最有系統的 工具，主要理由是在這散射理論中KDV 解是特徵值問題中的等光譜運動，也就是說， 如果 且ｑ滿足KDV 方程式，則特徵值ｋ（ｔ）滿足 （１）中的散射資訊Ｓ（ｔ），是ｔ的線性函數，所以很容易解出Ｓ（ｔ）。因此這 最基本的KDV 解，諸如：孤立子解，能清楚的從MARCHENKO 方程式推導出來，在散射 理論中，MARCHENKO 方程式是最重要的積分方程式，它描述KDV 光譜理論與散射資訊 Ｓ（ｔ）二者間關係。我們研讀散射理論並將其應用到解KDV 孤立子上。我們也可用 其它方法去推導KDV 解。諸如PARGMANN方法，KDV □守法則等。尤其是我們可從KDV □守法則去推導孤立子與週期性KDV 解。 最後我們舉水波論證明KDV 方程式的確是一個水波論中的數學典範方程式。