黎曼空間中的積分運算與對非線性SCHRODINGER 方程式的應用

Abstract

在孤粒子理論中，有三個最有名的方程式，即是KORTEWEG-DEVRIES方程式，SINI-GOR DON 方程式，還有非線性SCHRODINGER 方程式，本文主要是研究非線性SCHRODINGER 方程式解的問題。 在本文的第一部份我們討論非線性SCHRODINGER 方程式在黎曼空間之理論，我們首先 引進黎曼空間之積分技巧及RIEMANN-THETA 函數定義一個與非線性SCHRODINGER 方程 式有密切關係函數及引進ABEL-JACOBIMAP接著利用INVERSE-ABEL-JACOBIMAP導出N-PH ASE 的週期解。 在本文的第二部份我們特別討論TWO-PHASE 的解與一個非線性的二階常微分方程式有 極為密切的關係，而且這個非線性的常微分方程的解可以完全的解出來，它的解利用 橢圓函數、三角函數及指數函數表示。 在此篇論文中，我們所考慮的非線性SCHODINGER方程式是孤粒子理論中極為重要的， 經由本文的探討我們發現它的解與RIEMANN-THETA 函數有密切的關係，就如同KORTEW EG-DEVRIES方程式與WEIERSTRASS-P 函數有密切的關係，而RIEMANN-THETA 函數與WE IERSTRASS-P 函數都是複變函數中的特殊函數，所以我們可以知道孤粒子理論與複變 函數中之特殊函數有極為密切的關係，這也是古典的數學分析在近代的偏微分方程理 論中的重大應用，我們可以期待在未來的數學研究之中，一些古典純粹的數學分析將 會被廣泛的被用來解決近代應用數學的問題，這是值得我們繼續研究的方向。