環上邊界條件為DIRICHLET-NEUMANN 的半線性橢圓偏微分方程之對稱正解

Abstract

我們考慮△ｕ＋λｆ（ｕ）＝０對稱正解之存在性與多重性，在很多數學分支，此一 問題常常出現。很多學者像KELLER, COHEN, CRANDALL, RABINOWITZ 和SATTINGER 都 曾經從事這方面的研究工作。在此論文內，我給的邊界條件為DIRICHLET-NEUMANN 型 的邊界條件，考慮的區域是一圓環。特別要說明的是，這類問題可分為ｆ（０）＞０ 和ｆ（０）＝０兩大類，我僅考慮ｆ（０）＞０之情況。 ｆ（０）＝０的情況有BANDLE, COFFMAN, MARCUS 諸位先生研究過。 在此篇設計中，雖然我們考慮的是一偏微分方程，但我們的興趣乃在於此一偏微分方 程之對稱正解，故我們可以把問題簡化成常微分方程，此為我們較能處理的問題。對 於此一簡化後的常微分方程式，我們須要用到的工具有SHOOTING METHOD, MONOTONE ITERATION SCHEME等等。] 對此問題，我們討論解之存在性，其次，再討論解之多重性。關於存性之結果我們得 到得到對任意厚度之環狀區域，存在λ* ＞０，使得０＜λ＜λ* 時只要ｆ（ｕ）＞ ０，ｆ' （ｕ）＞０及（ｆ（ｕ）在ｕ趨近於無限大時，為超線性函數，解至少有兩 個。其中λ* 只和環之厚度有關。關於多重性之結果，我們只須再加上ｆ（ｕ）為嚴 格凸函數之條件，則恰有二解。 此一偏微分方程尚有許多有趣而尚未知之現象，例如對稱破壞之問題等。