常微分方程平行方塊法數值解的穩定性

Abstract

在這篇論文中，我們討論以數值平行方塊法解常微分方程式初始值問題。這些平行方 塊法的運算法則非常適用於具備有平行處理結構的計算機上。因此，其計算數值解的 速度將加快，因而縮短計算時間。我們討論了平行方塊法的一般模式，舉出數個實際 例子來說明這類方法的可行性，並提出相關的收斂性和穩定行性理論。由於此類型之 平行法為數眾多，因此我們以絕對穩定性的好壞來選擇適當之方法。最後，我們綜合 所有的結果並且和已知的連續方法及平行預測修正法加以比較，發現我們所提出的平 行方塊法遠勝過其他兩類方法。 我們採用M.T. CHU和H. HAMILTON 所提出的比較原則：假設求某一個常微分方程式初 始值問題在時間Ｔ的數值解，而且每一種方法均容許其最大的步幅（絕對穩定區間長 度），同時我們忽略計算機各處理器之間資料傳遞所需時間則函數值的運算將是每一 種方法最費時的步驟。例如，RUNGE-KUTTA 方法每一步需４個函數運算，而其容許的 最大步幅為２．７８５，所以整個求解的過程共需４Ｔ╱２．７８５個函數運算。對 於其餘各類方法我們都有詳細的討論，並分別列出其數值。 另外，我們所提出有關收斂性及穩定性的理論比M.T. CHU和H. HAMILTON 所提出的更 為完整簡單。最後，我們也引入幾個樣本問題做精確度的測試，並詳細列出其數值結 果。、