投影算子之乘積及其相關問題

Abstract

本論文的目的是在探討希爾伯空間上, 那些算子可分解成偏保距算子的乘積, 以及那 些算子可分解成垂直投影算子的乘積。首先我們知道在無窮維空間, 任一收縮算子可 分解成兩個偏保距算之乘積, 而在有限維空間, 我們證明了下面的結果: 算子T 是k 個偏保距算子之乘積的充要條件是T 為收縮算子, 而且rank(l–T T)≦K •nullity T 。由此可推論任一階不可逆收縮方陣皆可分解成n 個偏保距算子之乘積, 而n 是這 種分解所需要的因子個數的最小者。 另一方面, 在有限維空間, 我們證明了算子T 是有限個垂直投影算子之乘積的充要條 件是T 么正等價於一個單位算子與一個不可逆的嚴格收縮算子的直和, 而這種分解所 需的因子個數可任意大。在無窮維空間, 我們得到有關於算子可分解成垂直投影算子 之乘積的一些必要條件與充分條件, 由此同樣可得知這種分解所需的因子個數可任意 大。此外, 我們證明了一個嚴格收縮算子與一個無窮維的零算子的直和可分解成有限 個投影算子之乘積, 並且解決了自伴算子的分解問題。 最后, 我們提出一些尚等解決的相關問題, 並且舉作出一些推測, 值得繼續研究。