BETA-SPLINE之分割

Abstract

B_spline是由參數式曲線的一次微分與二次微分所導出, 但是一次微分與二次微分并 不能滿足幾何模擬上的物理效果。因此B.A.Barsky在1981年提出用unit tangent vec tor 代替一次微分, 用curvature vector代替二次微分。 若一個參數式曲線上每點的unit tangent vector 和curvature vector均連續, 則稱 此參數式曲線有幾何連續(geometric continuity)。從幾何連續的性質，便可導出兩 人參數：bias parameter(β1) 和tension parameter(β2), 并且導出Beta_spline 。 Beta_spline除了有B_spline 的所有優點之外，并且更多了β1, β2兩個參數。改變 β1, 或β2的值亦能控制曲線的形狀, 當β1=1,β2=0 時, Beta_spline 便還原成B_ spline。T.N.T.Goodman 於1985年證明出Beta_spline 也滿足與B-spline一樣的三個 性質: 局部控制(local control),凸殼(Convex hull) 變化減少variation_diminish in g)。 在做Beta_spline的分割時，會得到更多的節點(knot) 與控制點(control point) 并 且每個節點可有不同的β1和β2。 經由改變控制點，或β1和β2 ，或節點之間距離 ，便能局部控制曲線的形狀。 分割Beta_spline 有兩種方法。一次加入所有的新節點( 由此可導出discrete Beta_ spline) 與一次只加入一個新節點。在本論文中我們是使用一次加入所有的新節點來 分割Beta_spline，此時可得到Siscrete Beta_splin，由ediscrete Beta_spline 和 舊控制點便可得到新控制點。 最後，我們使用discrete Beta_spline的分割方法，設計一個機何模擬的交談式系統 ，此系統可將一個很簡單的幾何模型，經由分割的方法和局部控制的效果，而成為我 們所需要的物體模型。