非線性橢圓偏微分方程在環上及球上的正對稱解及其對稱破壞

Abstract

本論文將探討非線性橢圓偏微分方程在球上及環上有關正對稱解的存在性，多重性及 對稱破壞問題。首先考慮問題一：△u+λf(u)=0在Ω，u=0 在 Ω，其中 Ω 為球且 f(0)＜0,假設f 是下臨界的超線性，我們將證明當λ小時，問題一有正對稱解，當λ 大時，若存在 u＞0 使得當 u (0，u]時 F(u)＜0，當 u [u,∞)時 f(u)＞0，其中 F(u)=∫u 0f(t)dt，則問題一無正對稱解，此外我們亦獲得對稱破壞之結果。問題二 ：考慮 △u+λf(u)=0 在Ω，u=0 在 Ω，其中Ω為環，我們證明當 f為正，嚴格遞 增，凸函數且超線性，則存在λ*＞0，當λ (0,λ*) 時問題二至少有兩個正對稱解 ，此外若f 又滿足適當的增長條件，則存在λ*＞0，當λ (0,λ*) 時問題二恰有兩 個正對稱解，當 λ=λ* 時恰有一個正對稱解，當λ＞λ* 則無解，同時并證明當環 夠薄時有多個非對稱解。問題三：考慮 △u+f(u)=0 在Ω，其中Ω為環，我們證明當 內環外環給定之邊界條件，一邊為 0，另一邊為b＞0，則存在 b*＞0，當b (0，b*) 時，問題三至少有兩個正對稱解，當 b＞b*則無解，此外若f 滿足更強之條件，則當 b (0，b*) 時問題三恰有兩個正對稱解，文中亦探討有破洞之一般區域問題三的正 解的存在性。