關於類半對稱設計的構作及相關研究

Abstract

類 半 對 稱 設 計 是 半 對 稱 設 計 及 部 份λ-幾 何 的 推 廣， 和 類 對 稱 設 計 是 從 對 稱 設 計 推 廣 出 來 的 方 式 很 相似 ； 在 有 nexus 關 係 時， 這 些 結 構 都 是 D. G. Higman 所介 紹 的 強 正 則 設 計 (strongly regular design) 的 特 殊 族群。 類 半 對 稱 設 計 的 關 連 圖 形 (incidence graph) 為 一直 徑 為 4 的 距 離 雙 正 則 圖 形 (distance-biregular graph)，根 據 其 相 交 圖 示 (intersection diagram)， 我 們 得 到 一 些參 數 的 必 要 條 件。 沿 續 Cameron，Drake 及 Fu，Huang 在 參數 μ ＝ λ， μ ＝ λ － １ 的 研 究， 我 們 探 討 μ ＝ λ －２ 的 情 形， 並 利 用 正 交 陣 列 (orthogonal array) 造 出 了一 些 類 半 對 稱 設 計 族。 和 Goethal，Seidel 在 類 對 稱 設計 上 提 出 的 問 題 相 似， 我 們 考 慮 強 正 則 圖 形 成 為某 個 類 半 對 稱 設 計 之 點 圖 (point graph) 或 區 塊 圖 (block graph) 時 所 需 的 必 要 條 件， 並 據 以 排 除 了 一 些圖 形 的 可 能 性。 Quasi semisymmetric designs (QSSD) are generalizations of semisymmetric designs (SSD) and partial $\lambda$-geometries, similar to that of quasi-symmetric designs (QSD) from symmetric designs (SD). All these structures with additional nexus condition are subclasses of strongly regular designs (SRD) introduced by D. G. Higman. Some significant necessary conditions among the parameters for QSSD with nexus are derived in terms of the intersection diagrams (ID) of their incidence graphs which are distance-biregular graphs (DBRG) of diameter 4. Continuing the studies of QSSD with nexus and with $\mu = \lambda$, $\lambda - 1$ by Cameron and Drake, Fu and Huang respectively. We study the case $\mu = \lambda - 2$, which leads to a construction of a family of QSSD($m(m+2), m+2, [m], [2]$) with nexus $\frac {m(m+1)}{2}$ in terms of orthogonal arrays whenever $m$ is a power of 2. Analogous to the problem initiated by Goethal and Seidel for quasi-symmetric designs, necessary conditions for strongly regular graphs (SRG) which are either the point graphs or the block graphs of some QSSD's with nexus are given. Some known SRG's are easily rulled out from this possibility.