推導高階時間域邊界元素法求解二維暫態應力波

Abstract

本文研究邊界元素法於時間域上建立更快速與更精確方法以求解二維應力 波的暫態(transient)分析。由於邊界元素法僅須於邊界上離散化積分方 程式，且其高精確性與比全域法(domain method)降低一個維度( dimension)以及可自動滿足在無限遠處衰減的輻射條件，現在已成為數值 方法研究主流之一。本文重要工作之一在於推導二維波動( elastodynamics)方程式盤曲基本解(fundamental convoluted kernel)以 及推導時間域上的物理變量可以呈現二次式變化的邊界元素法之求解方法 ，這些是文獻上第一次提出的可行方法。本文共提出兩種二次式時域的邊 界元素法(QC法及QL法)；QC法是假設位移在二個△t(time step)時間上的 變化是二次式(quadratic)，曳引力 (traction)在△t 時間上變化是保持 常數；QL法亦是假設位移在二個△t時間上的變化是二次式，曳引力在一 個△t 時間上是線性變化；文中亦推導一種LC方法用來作比較，LC方法是 先前公認最好的時間域邊界元素分析方法，LC法是假設位移在一個△t時 間上的變化是線性，曳引力在一個△t時間上變化是保持常數。以上三種 方法，在本文中的位移和曳引力的變動在空間上的改變都是假設為二次式 的變化。在本文中亦有証明“盤曲基本解在一很大的步驟(time step,△ t)或源點(source point)與場點(field point)合一(即r=0)時將轉換為靜 力的基本解”，換句話說，暫態的盤曲基本解與靜力的基本解的奇異性 (singularity)一樣，利用此特性與靜力基本解的奇異性的求解方法已經 很成熟，可經由間接方式，克服暫態邊界元素法的難題之一奇異（發散） 積分(divergent integral)。這是一個重要的概念與技巧，亦是求解暫態 的盤曲基本解之檢核點(check point)，並且是文獻上第一次証明二維波 動方程式的盤曲基本解在r趨近於0時，暫態的盤曲基本解與靜力的基本解 是一致的。為了驗證本文所推導公式的精確性與求解速度快之效益性，乃 以一些現有的有限長或無限大域問題為例，除了以數值結果來說明上述的 優點外，前述三種(LC、QC及QL)一階及二階時域方法與頻域(frequency) 或拉普拉氏(Laplace)域的邊界元素法以及早期(第一代)時域邊界元素法 作比較，經由比較數值結果得知，此三種新方法是比其它方法表現出精確 且穩定