黎曼曲面與橢圓函數的理論及其對正弦高登方程的應用

Abstract

我們有興趣的是，研究正弦高登方程的一些特殊解，正弦高登方程如下： u_tt - u_xx + sin[u(x,t)] = 0 其中 -∞ < x < ∞ ，而且 t > 0 。

經由變數變換，我們可以將原本的方程式變成以下的形式： u_ss + sin[u(s)] = 0 這是一個對於時間 s 的單擺運動方程式，而且我們可以繼續推導變成 u_s = √2[E + cos(u)]，其中 E 是一個常數。

可是 √2[E + cos(u)] 是一個複數上的雙值函數，所以我們介紹黎曼曲面 R 的理論，使得這一個函數在這個曲面上變成了一個可以分析的單值函數。

接下來，我們介紹橢圓函數的古典理論，並且利用它去對 u_ss + sin[u(s)] = 0 求解，並分析相關的性質。

The Goal of this paper is to solve the sine-Gordon equation, u_tt - u_xx + sin[u(x,t)] = 0, where -∞ < x < ∞ and t > 0.

By using the method of substitution, we get u_ss + sin[u(s)] = 0, which is a simple pendulum motion at time s with the angular displacement u, and it implies u_s = √2[E + cos(u)], where E is constant.

But √2[E + cos(u)] is a two-valued function on C, so we introduce the theory of the Riemann surface R such that it comes to a single-valued analytic function on this surface.

Next, we introduce the classical theory of the elliptic functions, to solve u_ss + sin[u(s)] = 0, and analyze the associated properties.