創新的時域有限差分法之特性與應用

Abstract

Yee 於1966 年提出的時域有限差分法(finite difference time domain method, FDTD)對於空間與時間具有二階準確度。FDTD 為了獲得合理的數值解精確度， 通常每一波長的自由度需要20，但在有限元素法(finite element method, FEM) 中，本人與J. P.Webb 教授展示了波封方法(wave-envelope technique)只需將每一 波長的自由度小至2 至3。因此將波封方法應用於FDTD 應同樣可展現其優越的 特性。此外ADI-FDTD 具有非條件性的穩定性，因此允許時間增量大於CFL 穩 定性條件。藉由結合波封方法與ADI-FDTD，時間與空間增量皆能夠任意的增 大而記憶體與計算需求將可被顯著地降低，則此波封ADI-FDTD 方法將更有效 率地應用於求解二維及三維問題。近來本人探討了二維空間的波封交換方向隱 式時域有限差分法(envelope alternating direction implicit finite difference time domain method，envelope ADI-FDTD)之數值精確性與應用性，顯示了此數值方 法在二維空間中具有優於ADI-FDTD 的數值特性。在這為期兩年之研究計畫的 第一年，此研究計劃將發展出三維envelope ADI-FDTD，除了探討其色散誤差確 實低於ADI-FDTD，並以此方法求解空腔、電磁波輻射與散射體等問題。 結合了Crank-Nicolson scheme (CN scheme) 的CN-FDTD 亦具有不受CFL 穩定性條件限制的優點，且其數值精確度優於ADI-FDTD。然而以傳統的 CN-FDTD 求解電磁場問題時需要消耗大量的計算機資源。近來已有學者提出一 些方法以提高CN-FDTD 的計算效率，本人則嘗試將波封方法結合CN-FDTD 與 改善其計算效率的方法，發展具有優異數值特性的波封CN-FDTD。因此在研究 計畫的第二年，本人將發展出二維波封CN-FDTD，探討其數值特性並求解二維 空腔問題與散射場問題。接著本人將發展出三維波封CN-FDTD，探討其數值特 性並求解三維空腔問題與輻射場問題。