一般反應值變換不等變異穩健迴歸模型之統計推論

Abstract

變換反應值是處理不等變異和非常態誤差的一種常用方法。變換反應值最初是用來當作達成相等變異且常態誤差及產生一個較為簡單的線性迴歸模型(Box和Cox，1964)︰即經過變換反應值後誤差或標準化誤差為相等變異且常態分佈。 然而當變換的值域不是所有的實數時，經過變換反應值後誤差或標準化誤差不可能為常態分佈。常被使用的變換其值域可能不是所有的實數的例子有乘冪變換(Box和Cox，1964)、指數變換(Manly，1976)及Aranda-Ordaz 變換(Aranda 和Ordaz，1981)。而且當變換的值域不是所有的實數時，經過變換反應值後誤差或標準化誤差通常有不同的值域，因而有不同的分佈。 因此，Chen 和 Wang (2003) 提出下列一般反應值變換不等變異truncated常態迴歸模型 h(yi;λ) = f(xi;β) + g(f(xi;β),xi;γ)εi, i = 1, …, n, 此處yi 為第i個觀察值；λ 為未知的變換參數向量；h(.;λ) 為單調遞增的變換函數；xi為已知的第i個解釋變數向量；β 為未知的迴歸參數向量；f(.;β)為迴歸函數；γ 為未知的變異數參數向量；g(.,.;γ)為加權函數；且εi為獨立標準化 truncated常態誤差且中位數為0。 然而當資料經過變換後與truncated常態假設並不吻合時，Chen 和 Wang (2003) 的truncated常態概似推論並不恰當。因此在這個計畫中，首先我們將提出一般反應值變換不等變異穩健迴歸模型，此處εi為獨立標準化誤差、中位數為0且inter-quartile range為 1。其次，我們將提出此穩健迴歸模型的估計、假設檢定、信賴區域及相關的有限樣本和大樣本性質。當預測是我們的目的時，給定一個解釋變數向量，未來觀察值的分位數估計也將被推導。我們也將比較此穩健迴歸模型與Chen 和 Wang (2003) 的truncated 常態迴歸模型的異同。最後當truncated 常態的假設並不恰當時，我們將進一步闡明所提出的一般反應值變換不等變異穩健迴歸模型之重要性。