部分區域之穩定性理論及應用

Abstract

本篇論文提出了不同於傳統Liapunov穩定定理的 "部分區域穩定性理論",它彌補了L- iapunov 定理於傳統數學模型與真實動力系統之間的差異。在傳統的定量中, 對於探 討運動微分方程式之零解的各種穩定性定義都是針對原點鄰近的全區域而言, 但是對 於許多動力問題, 比方說睡陀螺的永久旋轉問題, 當我們考慮其直立時受到干擾的穩 定性問題, 此時其特解的六個變量中之相對於垂直軸的方向餘弦一項等於 1, 因此無 論如何, 此項變量所能承受的干擾就只能為負值, 也就是說, 對於原點鄰近區域的干 擾而言, 不再是以往傳統的全區域而僅是部分區域 (或說是部分空間) 的穩定性問題 。 一般而言, 在許多不同的動力穩定性問題中, 事實上都只是部分區域的穩定性問題 ; 然而, 長久以來, 其數學的模型都將其視為全區域的穩定性問題, 也就是說, 傳統的 數學模型無法與真實的動力系統相配合, 而且, 人為地給予過高的要求而這些要求是 不需要的。 本篇論文中所建立的穩定性理論對解決穩定性問題的貢獻是, 當要選取Liapunov函數 時, 變量的奇次項 (通常是一次項) 可以被選用同時亦可判定其號性。另外在不穩定 問題的Liapunov函數取決上, liapunov函數所在的區域與部分區域重疊的邊界, 其條 件亦較傳統的定理放寬了。 諸如此類的問題在本論文加以探討的計有: 無阻尼睡陀螺的穩定性, 質點於各種不同 型式旋轉管中相對平衡的穩定性, 對稱陀螺在線性阻尼下的穩定減速運動, 質點於帶 阻尼力之旋轉管中相對平衡的漸近穩定與不穩定運動, 帶阻尼對稱陀螺的漸近穩定 , 及其他一些如捕食與被捕食動物之間的平衡, 生物的成長與疾病的傳播感染等非力學 問題, 亦能應用本理論來研究探討。其中有些問題無法或尚未以傳統理論來解決。