某些擬線性橢圓型問題之強解的存在性

Abstract

本論文研究下列在正則囿界區域Ω上之擬線性橢圓型問題： ╭ N │ ＿＿ ╭ u ╮ │ — ＞ ─── │ ａ (x) ─── │＋ g(x,u, u)＝0 x Ω, │ ▔▔ x ╰ ij x ╯ ＜ i,j=1 i j │ │ u│ ＝0 , │ Ω ╰ __ θ 其中ａ Ｃ□(Ω),│g(x,r,ξ)│＜h(│r│)＋Ｃ│ξ│ , h(│r│)＝ ij ▔ o(│r│□)。 首先，我們假設ｇ滿足下列之“隨邊變號”條件： rg(x,r,ξ)＋Ｋ(x)＋sr□＋t│ξ│□＞ 0 ▔ 8 其中Ｋ與s,t 分別為適當的函數與參數。若 0＜θ＜max｛1,──｝且 ▔ N+2 N 2,p 1,p 0＜β＜─── ，則可証得若存在一強解ｕ Ｗ (Ω)∩Ｗ (Ω) 。同時，若 ▔ N+2 0 N 2,p 1,p 1 2,p p＞ ─ 則前者之所有Ｗ (Ω)∩Ｗ (Ω) ∩Ｈ (Ω) 解為Ｗ 囿界；若 2 0 0 2,p 1,p 1 2,p p＞ N 則後者之所有Ｗ (Ω)∩Ｗ (Ω) ∩Ｈ (Ω) 解為Ｗ 囿界；若 0 0 2,p 1,p 1 2,p p＞ N 則後者之所有Ｗ (Ω)∩Ｗ (Ω) ∩Ｈ (Ω) 解為Ｗ 囿界。 0 0 另外，我們考慮 g(x,u, u)＝a□(x)u ＋ f(x,u, u)，其中β□＞ ａ□(x)＞ ▔ ▔ θ α□＞ 0 且│f(x,r,ξ)│＜ Ｃ□＋ b(│r│)│ξ│ , 0＜θ＜2，則存在一強 ▔ ▔ 2,p 1,p 2,p 1,p 1 解u Ｗ (Ω)∩Ｗ (Ω)。同時，所有Ｗ (Ω)∩Ｗ (Ω) ∩Ｈ (Ω)∩ 0 0 0 ∞ 2,p Ｌ (Ω) 解為Ｗ 囿界。