有理橢圓曲線的模參數化

Abstract

二十世紀末，Andrew Wile證明了 谷山-志村猜想，也間接地證明著名的費瑪最後定理。而這個猜想的敘述是說：只要給定任何一個有理橢圓曲線，我們都能夠找到一個自然數 以及模函數將其參數化。然而，目前沒有人將有理橢圓曲線是如何模參數化的型式完整寫下。 在楊一帆教授的論文"Defining equations of modular curves”裡提到我們如何利用廣義的Dedekind eta 函數建構在模曲線 上模函數域的生成元，提供了將有理橢圓曲線模參數化的方法。在這裡，我們利用相同的概念以及類似的方法將本身就是模曲線且型式為 或 的有理橢圓曲線模參數化，其中 為質數。方法如下： 一. 型式為 ，我們找兩個模函數 ， 在無限大有極點且次數分別為二跟三。 二. 型式為 ，我們有兩種方法： 1. 利用模曲線 上模函數域的生成元建構上述的兩個模函數。 2. 利用”一個全形的( holomorphic )的 differential 1-form本身就是一個 cusp form of weight 2”的性質以及給定的有理橢圓曲線唯一決定我們要的這兩個模函數。