容忍區間的研究

Abstract

在工業統計領域中 容忍區間 與 休華特(Shewhart) 管製圖並列為兩大品質控制工具。 容忍區間關心下面假設檢定問題： 0 H ：有一個區間其包含一定比率好的產品且具有某一信賴係數的信心。 若我們有一組隨機樣本X = (x1 ,...,xn ) 其分配含有參數θ，Wilks(1941,Annals)定義 1 2 1 2 (T ,T )= (t (x),t (x))為一 γ 成份容忍區間且具有信心 1-α 如果它滿足下面條件： P{P(x (T,T )|X) } 1    . . . (1) 其中0 x 為一未來隨機變數。 此一frequentist 研究裡我們預期長期而言會有比率 1-α 的區間1 2 (t ,t )使得0 1 2 P(x (t,t)) θ ? ?γ 。我 們關心此一研究方法在於它是否真能檢驗生產者的假設檢定問題。我們考慮一個簡單的問題。若隨機 樣本1 , ..., n x x 從常態分配 N(μ,σ 2) 出來其中 μ 及 σ 為已知。因為 0 1 1 2 2 P{P(x ( z , z )) } 1 γ γ μ σ μ σ γ + + ? ? + ? = 從 (1) 式得知1 1 2 2 ( z , z ) γ γ μ σ μ σ + + ? + 為一 γ 成份容忍區間 其信心為 1 。這個敘述對嗎？ 我們來檢驗這個敘述。考慮下面符號： (a) k 代表每天產品產量 (b) M 代表長期生產天數 (c) 0 { ( , )} lu P =P x ? LSLUSL 其中 LSL 及 USL 為規格下限及上限。0 lu P > 為一已知常數因為 分配中 μ 及 σ 為已知 有了這些假設，一天中超過 γ 比率為好產品的機率為

我們可以驗證L(δ)為一遞減函數且L(1. ) = 0 及L(0+ ) =1。這 個表示包含至少γ 比率好的產品的信心為 δ 其滿足δ = L(δ)。一般而言， δ 的結果介於 0 與 1 之 間。因此否決了1 1 2 2 ( z , z ) γ γ μ σ μ σ + + . + 為 γ 成份容忍區間且信心為 1 的說法。 這個計劃的目的在於研究 Wilks 的容忍區以生產者的角度來看的適當性(這有如迴歸里「診斷「的工 作)我們定義適當具有admissibility 的容忍區間。因為在Wilks 的容忍區間中以 Eisenhart , Hastay 及 Wallis(1947) 的版本最為廣泛使用與介紹。我們將驗證此一容忍區間的admissibility 。由 Huang , Chen 及Welsh(2006) 由覆蓋區間的信賴區間來建造的容忍區間也將是我們要驗證的。對此一容忍區間進一 步的研究也會在此一計劃中執行。