同倫方法與其在兩點邊界值問題上之應用

Abstract

同倫方法是用來解平滑函數F ：Rk→Rk，F（X）＝0 的一種全面收斂的數值方法，即 使在F 是高度非線性且收斂區域很小時，也一樣有效。同倫方法是經由隨機選取一起 始點X0，然後延展出一條到達F（X）＝0 之根的路徑或是到達根的收斂區域。給一簡 易方程式G（X）＝0 ，其解已知（例如G（X）＝X-a ，a 為已知），我們就可以「同 倫」G（X）＝0 到F（X）＝0 ，也就是建立一函數： H ：Rn×〔0，1〕→Rn，H （x，0）＝G（X），H （x，1）＝F（X）（例如：H （x ，t ）＝（1-t ）（x-a ）＋tF（X ））。 將同倫方法與「打靶法」（shooting method ）聯合運用，就可解出兩點邊界值問題 。如 y'(t)=f(t,y) u'(t)=(t,u) ｛ a ≦t ≦b ，y Rn我們先求相關起始值問題｛ 的解 g(y(a),y(b))=0 u'(a)=V ，令其解為u （t；v），求V 使得F（V）＝g（v，u（b；v ））＝0 ，若V ＝V*是F （V ）＝0 的根，則y（t）＝u（t；v*）為原式之解，反過來說於原式之解y（t）， V ＝y（a）也是F（V）＝0 的根。