投影算子之乘積及其相關問題

Abstract

本論文的目的是在探討那些希伯特空間上的算子，可分解成偏保距算子的乘積，以及 那些算子可分解成（垂直）投影算子的乘積。在有限維空間，算子T是k個偏保距算子 之乘積的充要條件是T為收縮算子，而且rank(1-T*T)≦k•nullity T，由此可推論任 一n 階不可逆收縮方陣皆可分解成n 個偏保距算子之乘積，而n 是所需的因子個數的 最小者。另一方面，在有限維空間，算子T 是個有限個投影算子之乘積投影算子之乘 積的充要條件是T 么正等價於一個單位算子與一個不可逆的嚴格收縮算子的直和，然 而其所需的因子個數可任意大。在無窮維空間，我們得到有關於算子可分解成投影算 子之乘積的一些必要條件與充分條件，並且解決了自伴算子的分解問題。此外，我們 證明了一個嚴格收縮算子與一個無窮維的零算子的宜和可分解成有限個投影算子之乘 積。