AKNS系統中兩種Darboux變換的等效性

Abstract

非線性偏微分方程的求解通常是一個重要而困難的問題，但對某些非線性方程（例如，k-dV 方程和mK-dV方程…等，）我們已有多種顯式求解的方法了。常見的有反散射變換、Bäcklund變換和Darboux變換。在本文中，我們將集中介紹後兩種方法：Bäcklund變換和Darboux變換；這兩者都是可由已知解出發，利用AKNS系統來討論，從而給出新解的方法。我們將寫下這兩種變換的顯式表達式，並以此來證明它們其實是等價的。最後，我們也會舉例來說明如何利用這變換來給出更多我們所考慮的非線性方程的更多解。