非線性系統之研究---穩定性、分叉特性、穩定區間與控制

Abstract

給定一個系統,在眾多我們關心的特性裡,第 一個也是最重要的問題就是如何去決定這個系 統是否穩定.更進一步,如果系統不穩定,如何適 當的作些控制使其變成穩定並找出其穩定區間 ,甚至如何經由控制法則的選取達到盡可能大 的穩定區間.因為一個不穩定的系統基本上是 一個潛藏著危險而且是沒有用的系統.而非線 性系統的穩定化(Stabilization)問題,因為理論及 實際上的需要更是深受學者專家的重視.由實 用的觀點而言,局部穩定性(Local stability)因為缺 乏穩定區間的(Domain of attraction)資料通常沒有 多大的實用價值,因為系統可能因為穩定區間 太小而使得系統即使是承受小小的擾動(Perturbation)整個系統的穩定性即遭破壞.而在一 般情況下,系統也不需要大域穩定性(Global stability)這麼強的條件.因此,如何決定一個已知 系統的穩定區間,如何獲得適當的條件使得系 統可以經由控制法則的選取以盡可能的擴大穩 定區間是極其重要的課題.而可以經由控制法 則的選取以達到希望的穩定區間的系統稱為是 具有潛在大域穩定(Potentially globalstability)特性 的系統.近年來已有一些文獻發表了有關穩定區間及潛在大域穩定的研究成果.另外,也有不 少文獻發表有關臨界系統(Critical system)的穩定 性,參數式系統(Parameter-dependent system)的分叉特 性(Bifurcation)及混亂性(Chaoticbehavior)等方面的 研究成果,並已將這些研究成果應用到不少實 際問題上面.例如高攻角飛行控制,噴射引擎壓 縮系統之不穩定現象分析,及電力系統之電壓 崩潰分析等.因此如何去分析非線性系統的行 為特性,進而建立起一套控制法則是極其需要 的.在此計畫中,我們將在已有的成果上除了對 臨界系統穩定化的分析與控制作更進一步的研 究,使之更能符合實際的需要.更進一步,我們將 探討它的穩定區間(Domain ofattraction)及潛在大 域穩定的可能性.此外,我們將探討沒有漂流項 系統(Driftless systems)的穩定性問題及多時段系 統(Multipletime-scale system)在臨界狀態的穩定性 分析與其可能發生的特性.希望能經由這方面 的研究,建立起對參數式系統在發生臨界現象 時穩定化控制法則的多一層了解.另外,我們希 望探討分叉系統(Bifurcation)並進而更深一層研 究混沌(Chaos)現象發生的原因與分叉現象的關 連性.此一計畫中,有另一個重要的研究課題就 是探討Invariant manifold方法在非線性系統分析上之應用.整個計畫我們將以計算機模擬來輔助 穩定性的分析與控制法則的建立,因為計算機 模擬不但可以提供驗證理論的可行性並�B往往 可以引導理論的突破.因此,計算機模擬與理論 分析可以說是相輔相成,也將在我們的計畫中 扮演重要的角色.