正交多項式在動態系統之應用

Abstract

本文利用各種正交多項式所具有之共同性質；（１）遞迴關係及（２）微遞迴關係， 以導出順向或逆向積分運算矩陣、時間函數f（t）與g（t）之乘積運算矩陣、線性轉 換運算矩陣（包括比例運算矩陣及時延運算矩陣），以及非線性運算矩陣。所導出之 運算矩陣以通式表達之，包括雅可比多項式、超球型多項式、第一類柴比雪夫多項式 、第二類柴比雪夫多項式、李建德多項式、拉吉爾多項式、賀邁爾多項式，以及其他 具有其特定遞迴關係之正交多項式。利用積分運算矩陣，配合其他運算矩陣，運算於 動態系統上，不論系統為微分方程或積分方程、時□或時變、平布或分布、線性或非 線性，均可簡化為一組聯立代數方程式，因而大為簡化問題之求解過程。 配合二次高斯關係與遞迴關係，吾人導出求解二次可積分、單值函數之正交多項式展 開係數之遞迴運算法則，並推此法則為求解任何二次可積分、雙變數函數之正左多項 數展開係數之遞迴運算法則。由於運算矩陣與展開係數之求得，均為遞迴運算。因此 ，本文所提之方法極適合數位運算。 所列舉之例題，顯示由正交多項式展開求得之解，提供雙腳機器人頗佳之控制。