非線性振盪系統中導致紊亂之路徑研究

Abstract

本文旨在詳盡地探討非線性振盪系統（註：ｘ＋ｋｘ＋〔ｄＶ（ｘ）／ｄｘ〕＝Ｆｓ ｉｎωｔ）中，於不同的位能Ｖ（ｘ）情況下，因系統參數（ｋ，ω，Ｆ）之變化， 而導致線性穩定度的改變進而產生不同分歧（ｂｉｆｕｒｃａｔｉｏｎ）行為。經由 此種不同分歧行為，使我們得以瞭解在非線性系統中，不同的狀態轉換之物理機制與 通性（ｕｎｉｖｅｒｓａｌｉｔｙ）。在本文中，我們引用了數值方法與Ｐｏｉｎｃ ａｒｅ幾何術找出Ｄｕｆｆｉｎｇ振盪系統與ＲＳＪ模式裡各種不同的轉換界線，並 將其描繪在（Ｆ，ω）平面，稱為狀態圖，以獲得對系統中各狀態轉換特性的整體概 念。 我們最主要的發現有三： 〔一〕、狀態圖通性： 由狀態圖可發現，在各共振區間中，轉換界線均有自我相似（ｓｅｌｆ－ｓｉｍｉｌ ａｒ）的及通性的現象產生。此外，當外加頻率高於一截止頻率ωＴ時，只有週期－ １（週期與外加交流信號相同）的解存在。在對原點稱的位能系統中，截止頻率ωＴ 與阻尼常數ｋ之關係可表為ωT ＝ωｏ〔１－（ｋ／ｋｏ）2〕 其中ωｏ及ｋｏ為常 數。總之，當頻率很時，幾乎所有複雜的非線性行為皆已消失。 〔二〕分岐行為與位能性質之關係： 我們發現在位能極小處附近的對稱性對各種分歧的發生有絕對的影響。在我們研究系 統中，可觀察到四種不同的分歧現象，包括鞍一節（ｓａｄｄｌｅ－ｎｏｄｅ）分岐 ，超臨界週期加倍（ｓｕｐｅｒｃｒｉｔｉｃａｌ ｐｅｒｉｏｄ－ｄｏｕｂｉｎｇ ）分岐，次臨界週期加倍（ｓｕｂｃｒｉｔｉｃａｌ ｐｅｒｉｏｄ－ｄｏｕｂｉｎ ｇ）分岐，及叉形（ｐｉｔｃｈｆｏｒｋ）分岐。我們發現鞍一節分岐及超臨界週期 加倍分岐的發生均與位能稱性無關，次臨界週期加倍分岐只發生在位能為非對稱的系 統，而叉形分岐則只發生在位能為對稱的系統。 〔三〕破壞對稱與分岐行為： 我們發現叉形分岐會導致解的對稱性破壞。同時，我們亦指出要發生超臨界週期加倍 分岐必先發生對稱性破壞。 在本文中我們提出一實際的計算法則，乃結合了諧波平衡法及Ｆｌｏｑｕｅｔ理論， 來計算在非線振盪系統中各種不同的狀態轉換界線。在此，除了獲得與實驗相當符合 的結果外，我們亦獲得一重要條件來分辨超臨界週期加倍分岐與次臨界週期加倍分岐 ，此條件為δＦ／δＤ在Ｄ＝０處之正負號，其中Ｄ為次諧波振幅。